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1NSI : Écriture Scientifique en Base 10⚓︎

Contenus Capacités
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Représentation
approximative des
nombres réels : notion
de nombre flottant
Calculer sur quelques
exemples la représentation de
nombres réels : 0.1, 0.25 ou
1/3.
0.2 + 0.1 n’est pas égal à 0.3.
Il faut éviter de tester l’égalité de
deux flottants.
Aucune connaissance précise de
la norme IEEE-754 n’est exigible.

Cette partie présente quelques rappels utiles pour mieux appréhender cette notion.

Écriture sous Forme Scientifique en Base 10⚓︎

Écriture sous Forme Scientifique d'un nombre décimal \(x\)

Tout nombre décimal \(x\) non nul peut s'écrire sous la forme :

\(x=(-1)^s\times c,f\times10^n\)
où :

  • \(s\) (\(0\) ou \(1\)) qui représente le signe du nombre décimal \(x\) :
    • \(s=0\), correspond à \((-1)^s=+1 \gt 0\) donc à des nombres décimaux \(x \gt 0\),
    • \(s=1\), correspond à \((-1)^s=-1 \lt 0\) donc à des nombres décimaux \(x \lt 0\)
  • \(m=c,f = c+f\) est appelée mantisse : c'est une convention de notation, où :
    • \(c\) est un chiffre mais pas zéro donc \(c\in\{1;2;3;4;5;6;7;8;9\}\)
    • \(f\in[0;1[\) est appelée partie fractionnaire de \(m\), ou partie décimale de \(m\), ou partie significative de \(m\). En mathématiques, on la note \(f=\{m\}\)
  • \(n\) est appelé l'exposant : c'est un entier relatif \(\in\mathbb{Z}\) (positif ou négatif)

Comment en pratique déterminer \(c\)? \(f\)? \(n\)?

On distingue classiquement les cas (symétriques) où \(x<1\) et où \(x>1\).

  1. Soit \(x=0,00458<1\) un nombre réel tel que \(0<x<1\)
    On réalise plusieurs multiplications par \(10\) successives jusqu'à la première fois où (le chiffre de) la partie entière ne soit plus égale à \(0\). On obtient \(n\) en tenant les comptes (négativement) du nombre de multiplications par \(10\), càd que \(n\) est décrémenté de \(1\) à chaque nouvelle multiplication par \(10\) (pour compenser l'opération \(\times10\))

    Représentation de \(x=0.00458\)

    \[\begin{alignat}{2} 0,00458 \times 10 &= 0,0458 & \,\,\, (n=-1) \\ 0,0458 \times 10 &= 0,458 & \,\,\, (n=-2) \\ 0,458 \times 10 &= 4,58 & \,\,\, (n=-3) \end{alignat}\]

    donc \(c=4\), \(\,\,f=0,58\) et \(n=-3\)
    ceci prouve que \(x = 0,00458 = 4,58\times10^{-3}\) on a bien écrit : \(x = c,f\times10^n\) avec \(c=4 \neq 0\), \(f=0,58\in[0;1[\) et \(n=-3\).

  2. Soit \(x=368,91>1\). Dans ce cas, on réalise des divisions par \(10\) successives, jusqu'à la première fois où il ne reste plus qu'un seul chiffre non nul devant la virgule. On obtient \(n\) en tenant les comptes (positivement cette fois) du nombre de divisions par \(10\), càd que \(n\) est incrémenté de \(1\) à chaque nouvelle division par \(10\) (pour compenser l'opération \(\div10\)).

    Réprésentation de \(x=368,1\)

    \[\begin{alignat}{2} 768,91/10 &= 76,891 & \,\,\,(n=1) \\ 76,891/10 &= 7,6891 & \,\,\,(n=2) \end{alignat} \]

    donc \(c=7\), \(\,\,f=0,6891\) et \(n=2\)
    ceci prouve que \(x = 768,91 = 7,6891\times10^2\) on a bien écrit : \(x = c,f\times10^n\) avec \(c=7 \neq 0\), \(f=0,6891\in[0;1[\) et \(n=2\)