1NSI : Écriture Scientifique en Base 10⚓︎
Contenus | Capacités Attendues |
Commentaires |
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Représentation approximative des nombres réels : notion de nombre flottant |
Calculer sur quelques exemples la représentation de nombres réels : 0.1, 0.25 ou 1/3. |
0.2 + 0.1 n’est pas égal à 0.3. Il faut éviter de tester l’égalité de deux flottants. Aucune connaissance précise de la norme IEEE-754 n’est exigible. |
Cette partie présente quelques rappels utiles pour mieux appréhender cette notion.
Écriture sous Forme Scientifique en Base 10⚓︎
Écriture sous Forme Scientifique d'un nombre décimal \(x\)
Tout nombre décimal \(x\) non nul peut s'écrire sous la forme :
- \(s\) (\(0\) ou \(1\)) qui représente le
signe du nombre décimal \(x\) :- \(s=0\), correspond à \((-1)^s=+1 \gt 0\) donc à des nombres décimaux \(x \gt 0\),
- \(s=1\), correspond à \((-1)^s=-1 \lt 0\) donc à des nombres décimaux \(x \lt 0\)
- \(m=c,f = c+f\) est appelée
mantisse : c'est une convention de notation, où :- \(c\) est un chiffre mais pas zéro donc \(c\in\{1;2;3;4;5;6;7;8;9\}\)
- \(f\in[0;1[\) est appelée
partie fractionnaire de \(m\), oupartie décimale de \(m\), oupartie significative de \(m\). En mathématiques, on la note \(f=\{m\}\)
- \(n\) est appelé l'
exposant : c'est un entier relatif \(\in\mathbb{Z}\) (positif ou négatif)
Comment en pratique déterminer \(c\)? \(f\)? \(n\)?
On distingue classiquement les cas (symétriques) où \(x<1\) et où \(x>1\).
-
Soit \(x=0,00458<1\) un nombre réel tel que \(0<x<1\)
On réalise plusieurs multiplications par \(10\) successives jusqu'à la première fois où (le chiffre de) la partie entière ne soit plus égale à \(0\). On obtient \(n\) en tenant les comptes (négativement) du nombre de multiplications par \(10\), càd que \(n\) est décrémenté de \(1\) à chaque nouvelle multiplication par \(10\) (pour compenser l'opération \(\times10\))Représentation de \(x=0.00458\)
\[\begin{alignat}{2} 0,00458 \times 10 &= 0,0458 & \,\,\, (n=-1) \\ 0,0458 \times 10 &= 0,458 & \,\,\, (n=-2) \\ 0,458 \times 10 &= 4,58 & \,\,\, (n=-3) \end{alignat}\]donc \(c=4\), \(\,\,f=0,58\) et \(n=-3\)
ceci prouve que \(x = 0,00458 = 4,58\times10^{-3}\) on a bien écrit : \(x = c,f\times10^n\) avec \(c=4 \neq 0\), \(f=0,58\in[0;1[\) et \(n=-3\). -
Soit \(x=368,91>1\). Dans ce cas, on réalise des divisions par \(10\) successives, jusqu'à la première fois où il ne reste plus qu'un seul chiffre non nul devant la virgule. On obtient \(n\) en tenant les comptes (positivement cette fois) du nombre de divisions par \(10\), càd que \(n\) est incrémenté de \(1\) à chaque nouvelle division par \(10\) (pour compenser l'opération \(\div10\)).
Réprésentation de \(x=368,1\)
\[\begin{alignat}{2} 768,91/10 &= 76,891 & \,\,\,(n=1) \\ 76,891/10 &= 7,6891 & \,\,\,(n=2) \end{alignat} \]donc \(c=7\), \(\,\,f=0,6891\) et \(n=2\)
ceci prouve que \(x = 768,91 = 7,6891\times10^2\) on a bien écrit : \(x = c,f\times10^n\) avec \(c=7 \neq 0\), \(f=0,6891\in[0;1[\) et \(n=2\)