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1NSI : Nombres Réels et Décimaux en Base 10⚓︎

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Représentation
approximative des
nombres réels : notion
de nombre flottant
Calculer sur quelques
exemples la représentation de
nombres réels : 0.1, 0.25 ou
1/3.
0.2 + 0.1 n’est pas égal à 0.3.
Il faut éviter de tester l’égalité de
deux flottants.
Aucune connaissance précise de
la norme IEEE-754 n’est exigible.

Cette partie présente quelques rappels utiles pour mieux appréhender cette notion.

Nombres Réels et Nombres Décimaux en base 10⚓︎

Développement Décimal

Tout nombre réel \(x\) admet un développement décimal, càd peut s'écrire comme une somme (éventuellement infinie) coefficientée de puissances \(10^p\) (\(p\ge 0\) ou \(p\le 0\)).
Ce développement Décimal n'est pas forcément unique : si l'on accepte par exemple que \(x = 0,99\underline{9} = 1 = 1,00\underline{0}\) sont deux développements décimaux distincts du même nombre :

  • On dit que \(1,00\underline{0}\) est le développement décimal propre de \(x\)
    (Ce cas sera toujours choisi par défaut dans toute la suite)
  • On dit que \(0,99\underline{9}\) est le développement décimal impropre de \(x\)

Nombres Décimaux, Rationnels, Irrationnels

Un nombre réel \(x\) peut être :

  • Un nombre Entier, auquel cas il peut s'écrire sans aucun chiffre après la virgule
  • Un nombre Décimal, càd qu'il admet un développement décimal limité, càd avec un nombre fini de chiffres après la virgule
  • Un nombre Rationnel, càd qu'il peut s'écrire comme un quotient de deux nombres entiers, càd qu'il admet un développement décimal :
    • soit limité (par exemple \(\dfrac 12=0,5\))
    • soit illimité (nécessairement) périodique (par exemple \(\dfrac13 = 0,\underline{3} = 0,3333\cdots\)) càd avec un nombre infini de chiffres après la virgule (ici la période est \(3\))
  • Un nombre Irrationnel, càd qu'il admet un développement décimal illimité (nécéssairement) non périodique. Par exemple :
    \(\sqrt{2} \approx 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 671 875 376 948 073 176 679 737..\)

Développement décimal (limité) d'un nombre décimal

\( \begin{align} 43,589 & = 40 + 3 + 0,5 + 0,08 + 0,009 \\ & = 4\times10 + 3\times1+5\times0,1+8\times0,01+9\times0,001 \\ & = 4\times10^1 + 3\times10^0+5\times10^{-1}+8\times10^{-2}+9\times10^{-3} \end{align} \)

Approximation Décimale d'un nombre réel

Un nombre décimal à \(p\) chiffres après la virgule peut donc être vu comme une approximation d'un réel \(x\), avec une précision \(p\) (chiffres après la virgule)