1NSI : Portes Logiques

Les Portes Logiques (par codeur-pro)

Portes Logiques

Def

Une Porte Logique / Logic Gate est une implémentation matérielle d'un Opérateur Booléen, càd un circuit électronique élémentaire implémentant la même fonctionnalité précise et distincte, que l'opérateur booléen correspondant.

Il existe plusieurs Portes Logiques, chacune d'entre elles ayant des fonctionnalités basiques, précises et distinctes. Ces Portes Logiques sont donc des circuits (électroniques) qui :

• acceptent en entrée un ou des signaux logiques (\(0\) ou \(1\)) présentés à leurs entrées sous forme de tensions. Par exemple :
  • \(5V\) pour représenter l'état logique \(1\)
  • \(0V\) pour représenter l'état logique \(0\)
• renvoie en sortie un signal logique (\(0\) ou \(1\))

Circuits Combinatoires

Ce type de circuits électroniques, dont la sortie ne dépend QUE des valeurs booléennes/bits en entrée est appelé un circuit combinatoire

Ce cours traite principalement de quelques circuits combinatoires classiques.

Exp

Un simple transistor permet de réaliser le circuit électronique élémentaire appelé Porte Logique NOT (NON) ou Porte Logique de la Négation, ou Inverseur.

Voici les caractéristiques des portes logiques les plus usuelles.

Porte NOT ( NON ) / Inverseur

Définition

Def

La Porte Logique NOT (NON), ou Inverseur, ou Opérateur de Négation, est défini par la phrase suivante :

La sortie est VRAI si et seulement si l'unique entrée est FAUX

Circuits et Schémas

La Porte NOT est implantée par un simple transistor : c'est la plus simple de toutes les portes, et c'est la seule porte logique unaire (avec une seule entrée/opérande)

NOT

On note \(S=not(A)=not\) \(A=\overline{A}=\neg A\)

Table de Vérité

La Porte NOT n'admet qu'un seul bit en entrée (A) et les résultats de son unique sortie (S) sont résumés dans sa Table de Vérité:

\(A\)	\(S=not\) \(A\) \(=\overline{A}\) \(=\neg A\)
\(0\)	\(1\)
\(1\)	\(0\)

Réalisation Pratique

Col

En pratique on regroupe souvent plusieurs portes logiques à l'intérieur de Circuits Intégrés (CI), comme ici avec l'exemple du Circuit Intégré 7404 (Panasonic) qui fait partie de la Série des circuits imprimés 7400, utilisant la technologie TTL (Transistor-Transistor Logic). Le Circuit Intégré 7404 regroupe \(6\) portes NOT, deux broches d'alimentation (la terre GND sur l'une, et le courant continu en V -Vcc- sur l'autre), dans un même circuit :

Col

de Circuits Intégrés

• CMOS : 4009, 4049
• TTL : 7404, 7405, 7406, 7416.

Porte AND ( ET ) / Conjonction

Définition

Def

La Porte Logique AND (ET), ou Opérateur de Conjonction, est défini par la phrase suivante :

La sortie est VRAI si et seulement si l'une ET l'autre entrées sont VRAI (simultanément)
\(\Leftrightarrow\) les deux entrées sont VRAI (simultanément)

Circuits et Schémas

Une Porte AND peut être implanté avec \(2\) portes NOT et une porte NOR.

AND

On note \(S = and(A,B) = A\) \(and\) \(B= A.B=\) \(A\land B\)

La porte NOT peut être construite à partir d'une porte NAND en reliant les deux entrées de cette porte:

Table de Vérité

La Porte AND (ET) admet deux valeurs en entrée (notées \(A\) et \(B\)), et une unique valeur de Sortie (\(S\)).

\(A\)	\(B\)	\(S=A\) \(and\) \(B\) \(=A.B\)
\(0\)	\(0\)	\(0\)
\(0\)	\(1\)	\(0\)
\(1\)	\(0\)	\(0\)
\(1\)	\(1\)	\(1\)

Réalisation Pratique

Col

En pratique on regroupe souvent plusieurs portes logiques à l'intérieur de Circuits Intégrés (CI), comme ici avec l'exemple du Circuit Intégré 7408 (Texas Instruments) regroupant \(4\) portes AND, deux broches d'alimentation (la terre GND sur l'une, et le courant continu en V -Vcc- sur l'autre), dans un même circuit :

Col

de Circuits Intégrés

• CMOS : 4073, 4081, 4082,
• TTL : 7408, 7409, 7411, 7415, 7421

Propriétés

de la Porte AND (\(.\))

L'opérateur AND vérifie les propriétés suivantes :

Propriété	Nom
\(a.b=b.a\)	Commutatif
\((a.b).c=a.(b.c)=a.b.c\)	Associatif
\(a.(b+c) = a.b+a.c\)	Distributif sur \(+\) (OR)

Identités Remarquables
\(a.1=a\)
\(a.0=0\)
\(a.a=a\)
\(a.\overline{a}=0\)

Porte OR ( OU ) / Disjonction

Définition

Def

La Porte Logique OR (OU), ou Opérateur de Disjonction, est défini par la phrase suivante :

La sortie est VRAI si et seulement si l'une OU l'autre des entrées est VRAI
\(\Leftrightarrow\) au moins l'une des entrées est VRAI

Circuits et Schémas

OR

On note \(S = or(A,B) = A\) \(or\) \(B=A+B=\) \(A\lor B\)

Table de Vérité

La Porte OR (OU) admet deux valeurs en entrée (notées \(A\) et \(B\)), et une unique valeur de Sortie (\(S\)).

\(A\)	\(B\)	\(S=A\) \(or\) \(B\) \(=A+B\)
\(0\)	\(0\)	\(0\)
\(0\)	\(1\)	\(1\)
\(1\)	\(0\)	\(1\)
\(1\)	\(1\)	\(1\)

Réalisation Pratique

Col

En pratique on regroupe souvent plusieurs portes logiques à l'intérieur de Circuits Intégrés (CI), comme ici avec l'exemple du Circuit Intégré 7432 (Motorola) regroupant \(4\) portes OR, deux broches d'alimentation (la terre GND sur l'une, et le courant continu en V -Vcc- sur l'autre), dans un même circuit :

Col

de Circuits Intégrés

• CMOS : 4071, 4072, 4075
• TTL : 7432

Propriétés

de la Porte OR (\(+\))

L'opérateur OR vérifie les propriétés suivantes :

Propriété	Nom
\(a+b=b+a\)	Commutatif
\((a+b)+c=a+(b+c)=a+b+c\)	Associatif
\(a+(b.c) = a+b.a+c\)	Distributif sur \(.\) (ET)

Identités Remarquables
\(a+1=1\)
\(a+0=a\)
\(a+a=a\)
\(a+\overline{a}=1\)

Porte NAND ( NON-ET )

Définition

Def

La Porte Logique NAND (NOT-AND / NON-ET), ou Opérateur de Négation de la Conjonction, est défini par la phrase suivante :

La sortie est VRAI si et seulement si PAS TOUTES les entrées ne sont VRAI (simultanément)
\(\Leftrightarrow\) au plus une des entrées est VRAI
\(\Leftrightarrow\) au moins une des entrées est FAUX

Circuits et Schémas

Deux transistors en série constituent une porte NAND / NOT-AND / NON-ET.

NAND

On note \(S=nand(A,B)=A\) \(nand\) \(B=\overline{A\land B}=\overline{A.B}=\neg (A \land B)=A \uparrow B\)

Table de Vérité

La Porte NAND (NON-ET) admet deux valeurs en entrée (notées \(A\) et \(B\)), et une unique valeur de Sortie (\(S\)).

\(A\)	\(B\)	\(S=A\) \(nand\) \(B\) \(=\overline{A \wedge B}\) \(=\overline{A.B}\) \(=A \uparrow B\)
\(0\)	\(0\)	\(1\)
\(0\)	\(1\)	\(1\)
\(1\)	\(0\)	\(1\)
\(1\)	\(1\)	\(0\)

Réalisation Pratique

Col

En pratique on regroupe souvent plusieurs portes logiques à l'intérieur de Circuits Intégrés (CI), comme ici avec l'exemple du Circuit Intégré 7400 (Texas Instruments) regroupant \(4\) portes NAND, deux broches d'alimentation (la terre GND sur l'une, et le courant continu en V -Vcc- sur l'autre), dans un même circuit :

Col

de Circuits Intégrés

• CMOS : 4011, 4012, 4023, 4068, 4093
• TTL : 7400, 7401, 7403, 7410, 7430, 74133

Universalité

NAND est Universelle

La Porte Logique NAND (NON ET) est dite universelle / complète, ce qui veut dire qu'elle permet de reconstituer (à elle seule) toutes les autres portes logiques.

C'est une propriété très importante car, le circuit électronique CMOS de la fonction NAND étant des plus simples, la fonction NAND sert souvent de « brique de base » à des circuits intégrés beaucoup plus complexes.

Universalité de NAND (\(\uparrow\))

1. Grâce à des Tables de Vérité, montrer les égalités suivantes :

   \(\neg A = A\uparrow A\)
   \(A . B = (A\uparrow B)\uparrow (A\uparrow B)\)
   \(A + B = (A\uparrow A)\uparrow (B\uparrow B)\)

2. Quels circuits électroniques (n'utilisant que des NAND) peut-on inventer pour implanter la Porte NOT ?

   Corr

   La porte NOT peut être construite à partir d'une porte NAND en reliant les deux entrées de cette porte:

   

3. idem pour la Porte ET?

   Corr

   La porte AND peut être construite à partir d'une porte NAND en reliant les deux entrées de cette porte:

   

4. idem pour la Porte OR?

   Corr

   La porte OR peut être construite à partir d'une porte NAND en reliant les deux entrées de cette porte:

   

Propriétés

de la Porte NAND (NON-ET)

L'opérateur NAND vérifie les propriétés suivantes :

Propriété	Nom
\(\overline{a.b}=\overline{b.a}\)	Commutatif
	NON ASSOCIATF

Identités Remarquables
\(\overline{a.1}=\overline{a}\)
\(\overline{a.0}=1\)
\(\overline{a.a}=\overline{a}\)
\(\overline{a.\neg a}=1\)

Porte NOR ( NON-OU )

Définition

Def

La Porte Logique NOR (NOT-OR / NON-OU), ou Opérateur de Négation de la Disjonction, ou NI/NI, est défini par la phrase suivante :

La sortie est VRAI si et seulement si AUCUNE des entrées n'est VRAI
\(\Leftrightarrow\) les deux entrées sont FAUX
\(\Leftrightarrow\) NI l'une NI l'autre des entrées n'est VRAI

Circuits et Schémas

Deux transistors en parallèles constituent une porte NOR / NOT-OR / NON-OU.

NOR

On note \(S = nor(A,B) = A\) \(nor\) \(B=\overline{A+B}=\overline{A\lor B}=A \downarrow B\)

Table de Vérité

La Porte NOR (NON-OU) admet deux valeurs en entrée (notées \(A\) et \(B\)), et une unique valeur de Sortie (\(S\)).

\(A\)	\(B\)	\(S=A\) \(nor\) \(B\) \(=\overline{A \lor B}\) \(=\overline{A+B}\) \(=a\downarrow B\)
\(0\)	\(0\)	\(1\)
\(0\)	\(1\)	\(0\)
\(1\)	\(0\)	\(0\)
\(1\)	\(1\)	\(0\)

Universalité

NOR est Universelle

La Porte Logique NOR (NON OU) est dite universelle / complète, ce qui veut dire qu'elle permet de reconstituer (à elle seule) toutes les autres portes logiques.

Propriétés

de la Porte NOR (NON-OU)

L'opérateur NOR vérifie les propriétés suivantes :

Propriété	Nom
\(\overline{a+b}=\overline{b+a}\)	Commutatif
	NON ASSOCIATF

Identités Remarquables
\(\overline{a+1}=0\)
\(\overline{a+0}=\overline{a}\)
\(\overline{a+a}=\overline{a}\)
\(\overline{a+\neg a}=0\)

Porte XOR (OU EXCLUSIF) / Différence

Définition

Def

La Porte Logique XOR (Exclusive OR / OU EXCLUSIF), ou Opérateur de Différence, ou Opérateur de Disjonction Exclusive, est défini par la phrase suivante :

La sortie est VRAI si et seulement si les entrées NE sont PAS égales entre elles
\(\Leftrightarrow\) L'une des entrées EXCLUSIVEMENT est VRAI (pas les deux)

Circuits et Schéma

XOR

On note \(S= A\) \(xor\) \(B = A\oplus B\)

Table de Vérité

La Porte XOR (OU EXCLUSIF) admet deux valeurs en entrée (notées \(A\) et \(B\)), et une unique valeur de Sortie (\(S\)).

\(A\)	\(B\)	\(S=A\) \(xor\) \(B\) \(A\oplus B\)
\(0\)	\(0\)	\(0\)
\(0\)	\(1\)	\(1\)
\(1\)	\(0\)	\(1\)
\(1\)	\(1\)	\(0\)

Réalisation Pratique

Col

En pratique on regroupe souvent plusieurs portes logiques à l'intérieur de Circuits Intégrés (CI), comme ici avec l'exemple du Circuit Intégré 7486 (Texas Instruments) regroupant \(4\) portes XOR, deux broches d'alimentation (la terre GND sur l'une, et le courant continu en V -Vcc- sur l'autre), dans un même circuit :

Col

de Circuits Intégrés

• CMOS : 4030, 4070
• TTL : 7486, 74136

Propriétés

Table de Vérité

1. Remplir la Table de Vérité Suivante :

   \(A\)	\(B\)	\(A \lor B\)	\(\neg (A \land B)\)	\((A \lor B)\land (\neg (A \land B))\)
   \(0\)	\(0\)	\(\,\)	\(\,\)	\(\,\)
   \(0\)	\(1\)	\(\,\)	\(\,\)	\(\,\)
   \(1\)	\(0\)	\(\,\)	\(\,\)	\(\,\)
   \(1\)	\(1\)	\(\,\)	\(\,\)	\(\,\)

2. Que constatez-vous ?

de la Porte XOR (OU-EXCLUSIF)

L'opérateur XOR vérifie les propriétés suivantes :

Propriété	Nom
\(a\oplus b=b\oplus a\)	Commutatif
\((a\oplus b)\oplus c=a\oplus (b\oplus c\) \(=a\oplus b\oplus c\)	Associatif

Identités Remarquables
\(\overline{a\oplus 1}=\overline{a}\)
\(\overline{a\oplus 0}=a\)
\(\overline{a\oplus a}=0\)
\(\overline{a\oplus \neg a}=1\)

Applications du XOR

Addition Binaire modulo \(2\)

Le XOR (OU EXCLUSIF) peut être vu comme une sorte d'addition binaire modulo \(2\) :

• Les \(3\) premières lignes de la Table de Vérité se comportent comme une Addition Binaire :
  • \(0+0=0\)
  • \(0+1=1\)
  • \(1+0=1\)
• La dernière ligne de la Table de Vérité se comporte presque comme une addition Binaire, mais SANS TENIR COMPTE de la retenue (on l'oublie), ce qui revient au même que dire "modulo \(2\)" :
  • \(1+1 = 2_{10} = 10_2\) donc:
    • \(0\) en binaire
    • mais sans tenir compte de la retenue \(1\). Il revient au même de dire que \(2\) modulo \(2\) vaut \(0\)

Demi-Additioneur 1 bit

La propriété précédente (d'addition binaire modulo \(2\)) est utile et utilisée pour créer un demi-additioneur 1 bit, càd un additionneur 1 bit SANS TENIR COMPTE DE LA RETENUE. Cf cette page du cours sur les circuits électroniques.

Additioneur 1 bit

La propriété précédente (d'addition binaire modulo \(2\)) est utile et utilisée pour créer un additioneur 1 bit, càd un additionneur 1 bit EN TENANT COMPTE DE LA RETENUE. Cf cette page du cours sur les circuits électroniques.

En Cryptographie

Le XOR joue un rôle fondamental en Cryptographie car il possède une propriété très intéressante : \((x\land y)\land y=x\)

Si \(x\) est un message et \(y\) une clé de chiffrage, alors \(x\land y\) est le message chiffré. Mais en refaisant un XOR du message chiffré avec la clé \(y\), on retrouve donc le message \(x\) initial. En pratique, cette méthode est souvent utilisée avec une clé \(y\) à usage unique, càd avec la technique du masque jetable.

Porte XNOR (NON-OU EXCLUSIF) / Coïncidence

Définition

Def

La Porte Logique XNOR (NON-OU EXCLUSIF), ou Opérateur de Coïncidence, ou Opérateur de la Négation de la Disjonction Exclusive, est défini par la phrase suivante :

La sortie est VRAI si et seulement si les deux entrées sont identiques (coïncident)

Il s'agit de la Négation du XOR (il faudrait dire NXOR pour NOT-XOR)

Circuits et Schémas

Col

Porte XNOR avec Transistors

Col

Porte XNOR USA

Col

Porte XNOR Europe

XNOR

On note \(S= A\) \(xnor\) \(B = A\odot B\)

Table de Vérité

La Porte XNOR (NON-OU EXCLUSIF) admet deux valeurs en entrée (notées \(A\) et \(B\)), et une unique valeur de Sortie (\(S\)).

\(A\)	\(B\)	\(S=A\) \(xnor\) \(B\) \(A\odot B\) Coïncidence
\(0\)	\(0\)	\(1\)
\(0\)	\(1\)	\(0\)
\(1\)	\(0\)	\(0\)
\(1\)	\(1\)	\(1\)

Réalisation Pratique

Col

En pratique on regroupe souvent plusieurs portes logiques à l'intérieur de Circuits Intégrés (CI), comme ici avec l'exemple du Circuit Intégré 74HC266 (Texas Instruments) utilisant la technologie TTL, et regroupant \(4\) portes XNOR, deux broches d'alimentation (la terre GND sur l'une, et le courant continu en V -Vcc- sur l'autre), dans un même circuit :

Col

Propriétés

Pte

XNOR est la Négation de XOR : \(A\odot B=\overline{A\oplus B}\)

Porte XNOR avec des Portes NAND

Table de Vérité

1. Remplir la Table de Vérité Suivante :

   \(A\)	\(B\)	\(A.B\)	\(\overline{A}.\overline{B}\)	\(A.B + \overline{A}.\overline{B}\)
   \(0\)	\(0\)	\(\,\)	\(\,\)	\(\,\)
   \(0\)	\(1\)	\(\,\)	\(\,\)	\(\,\)
   \(1\)	\(0\)	\(\,\)	\(\,\)	\(\,\)
   \(1\)	\(1\)	\(\,\)	\(\,\)	\(\,\)

2. Que constatez-vous ?

de la Porte XNOR (NON-OU EXCLUSIF)

L'opérateur XNOR vérifie les propriétés suivantes :

Propriété	Nom
\(a\odot b=b\odot a\)	Commutatif
\(a\odot (b\odot c) = (a\odot b)\odot c\) \(=a\odot b \odot c\)	Associatif

Identités Remarquables
\(a\odot 1=a\)
\(a\odot 0=\overline{a}\)
\(a\odot a=1\)
\(a\odot \overline{a}=0\)

Ex

Renseigner les Tables de Vérité suivantes :

1. Comparer avec XOR (\(\oplus\)) :

   \(A\)	\(B\)	\(S=\overline{A\, xor\, B}\) \(\overline{A\oplus B}\)
   \(0\)	\(0\)	\(1\)
   \(0\)	\(1\)	\(0\)
   \(1\)	\(0\)	\(0\)
   \(1\)	\(1\)	\(1\)

   En déduire une comparaison entre \(\overline{A\oplus B}\) et \(A\odot B\)

2. Idem avec \(AB+\overline{A}.\overline{B}\)

   \(A\)	\(B\)	\(S=\overline{A\, xor\, B}\) \(\overline{A\oplus B}\)
   \(0\)	\(0\)	\(1\)
   \(0\)	\(1\)	\(0\)
   \(1\)	\(0\)	\(0\)
   \(1\)	\(1\)	\(1\)

   En déduire une comparaison entre \(\overline{A\oplus B}\) et \(A\odot B\)

Notes et Références

Notes

Références

• Cours Portes Logiques, courstechinfo.be
• Portes Logiques, Univ du Sénégal
• Les Portes et Fonctions Logiques, codeur-pro.fr
• Portes Logiques sur Wikipedia:
  • Fonction NON
  • Fonction NAND / NON ET
  • Fonction NOR / NON OU
  • Fonction AND / ET
  • Fonction OR / OU
  • Fonction XOR / OU EXCLUSIF
  • Fonction XNOR / NON-OU EXCLUSIF / Coïncidence
  • Lois de Morgan
• Porte XNOR :
  • XNOR Gate, wikipedia
• Positron-libre:
  • Fonctions Logiques
  • Tableau Résumé des Fonctions Logiques
• Université Eiffel:
  • Formules Logiques en Haskell
• Transistors & Portes Logiques, IRIF](https://www.irif.fr/~carton/Enseignement/Architecture/Cours/Gates/)
• Logique Booléenne Vidéo Arte (59 min 30)