1NSI : Opérateurs Booléens, Portes Logiques

Contenus	Capacités Attendues	Commentaires
Valeurs booléennes : 0,1. Opérateurs booléens : and, or, not. Expressions booléennes	Dresser la table d’une expression booléenne.	Le ou exclusif (xor) est évoqué. Quelques applications directes comme l’addition binaire sont présentées. L’attention des élèves est attirée sur le caractère séquentiel de certains opérateurs booléens.

Opérateurs Booléens & Opérandes

Qu'est-ce qu'un Opérateur ?

De manière générale et intuitive, un Opérateur est un concept (plutôt mathématique) qui opère/agit sur des données en entrée, appelées Opérandes, et qui renvoie en sortie un (unique) résultat (dépendant usuellement des données en entrée).
Au sens mathématique, un Opérateur \(\otimes\) (par exemple) peut donc être vu comme une fonction \(f\) (par exemple) mais les notations pour la valeur de sortie ne sont pas exactement les mêmes.

Opérateurs et Fonctions

Un Opérateur \(\otimes\) (par exemple) opère/agit sur les Opérandes \(x\), \(y\) (par exemple) donnés en entrée, et renvoie une (unique) donnée en sortie par la fonction \(\otimes=f\), que l'on préfère noter \(x \otimes y\) (notation d'opérateur) plutôt que \(\otimes(x,y)=f(x,y)\) (notation fonctionnelle) :

\(x \otimes y\) \(= \otimes(x,y) = f(x,y)\)

De manière plus générale, il peut y avoir un seul ou bien plusieurs opérandes (même plus que \(2\)).

• Au sens d'un Opérateur, il s'agit d'une opération entre les différents opérandes.
• Au sens mathématique, on aurait pu dire que l'image de \((x,y,..)\) par la fonction \(\otimes=f\) est \(\otimes(x,y,..)=f(x,y,..)\)
• Au sens informatique, les opérandes \((x,y,..)\) peuvent être vus comme les arguments ou paramètres donnés en entrée d'une fonction \(f\) (au sens informatique).

Opérateurs Arithmétiques

Les quatre opérations arithmétiques de base \(+, -, \times, \div\) peuvent être vues comme des opérateurs à deux opérandes :

Opérateur \(\Leftrightarrow\) Fonction (\(a\) et \(b\) sont les opérandes)	Valeur de Sortie
\(a+b = +(a,b)\)	La Somme de \(a\) et \(b\)
\(a-b = -(a,b)\)	La Soustraction de \(a\) et \(b\)
\(a\times b = \times(a,b)\)	La Multiplication de \(a\) et \(b\)
\(a\div b = \div(a,b)\)	La Division de \(a\) et \(b\)

Opérateurs Booléens

Dans ce contexte, Un Opérateur Booléen ou Opérateur Logique, correspond au cas particulier où :

• les données en entrée sont des booléens (Vrai/True/\(1\) ou False/Faux/\(0\))
• Le résultat en sortie est également un booléen

Opérateur Booléens / Logiques & Opérandes

Un Opérateur Booléen, ou Opérateur Logique, est une fonction logique \(f\) qui :

• prend en entrée un ou plusieurs booléens/bits (appelés Opérandes), et
• produit en sortie un (unique) booléen/bit de résultat

L'équivalent au sens mathématique d'un opérateur booléen/logique, serait une fonction dite fonction booléenne ou fonction logique, càd une fonction qui reçoit en entrée un/des booléens/bits (\(0\) ou \(1\)) et qui renvoie en sortie un unique booléen/bit (\(0\) ou \(1\)).

L'Opérateur Booléen de la Négation

L'Opérateur booléen qui consiste à renvoyer en sortie systématiquement le contraire de ce que l'on a reçu en entrée, est appelé l'Opérateur de la Négation :

• Vrai en entrée renvoie Faux en sortie
• Faux en entrée renvoie Vrai en sortie

Fonctions Booléennes/Logiques & Tables de Vérité

Définition

Fonctions Booléennes/Logiques & Tables de Vérité

Les fonctions booléennes / fonctions logiques, sont des fonctions qui prennent en entrée un ou plusieurs bits/valeurs booléennes, et qui produisent en résultat de sortie un unique bit/valeur booléenne. Elles peuvent donc se représenter par une Table de Vérité.

Exemples

Fonction Booléenne à 2 entrées

Une fonction booléenne \(f\) avec \(2\) entrées \(x\), \(y\), sera entièrement définie par une Table de Vérité de \(2^2=4\) lignes. En effet, il existe \(4\) manières d'arranger deux variables \(x\) et \(y\) prenant chacune des valeurs booléennes (\(0\) ou \(1\)) données en entrée :

\(00\), \(01\), \(10\) ou bien \(11\) Chaque valeur \(f(x,y)\) étant ou bien un \(0\), ou bien un \(1\).

\(x\)	\(y\)	\(f(x,y)\) (\(1\) bit)
\(0\)	\(0\)	\(f(0,0)\)
\(0\)	\(1\)	\(f(0,1)\)
\(1\)	\(0\)	\(f(1,0)\)
\(1\)	\(1\)	\(f(1,0)\)

Ex

1. Un videur de boîte de nuit a reçu comme consigne de ne laisser passer que les personnes suivant le dress code suivant :

   • une chemise (\(x\))
   • ET un pantalon (\(y\))

   Établir la Table de Vérité correspondant à cette situation :

   \(x\) (Chemise)	\(y\) (Pantalon)	\(f(x,y)\) (\(1\) bit) (Puis-je entrer ?)
   \(0\)	\(0\)
   \(0\)	\(1\)
   \(1\)	\(0\)
   \(1\)	\(1\)

   -

   \(x\) (Chemise)	\(y\) (Pantalon)	\(f(x,y)\) (\(1\) bit) (Puis-je entrer ?)
   \(0\)	\(0\)	\(0\)
   \(0\)	\(1\)	\(0\)
   \(1\)	\(0\)	\(0\)
   \(1\)	\(1\)	\(1\)

2. Le dress code a changé :

   • une chemise (\(x\))
   • OU un pantalon (\(y\))

   Établir la Table de Vérité correspondant à cette situation :

   \(x\) (Chemise)	\(y\) (Pantalon)	\(f(x,y)\) (\(1\) bit) (Puis-je entrer ?)
   \(0\)	\(0\)
   \(0\)	\(1\)
   \(1\)	\(0\)
   \(1\)	\(1\)

   -

   \(x\) (Chemise)	\(y\) (Pantalon)	\(f(x,y)\) (\(1\) bit) (Puis-je entrer ?)
   \(0\)	\(0\)	\(0\)
   \(0\)	\(1\)	\(1\)
   \(1\)	\(0\)	\(1\)
   \(1\)	\(1\)	\(1\)

Fonction Booléenne à 3 entrées

Une fonction booléenne \(f\) avec 3 entrées \(x\), \(y\) et \(z\), sera entièrement définie par une Table de Vérité de \(2^3=8\) lignes. En effet, il existe \(8\) manières d'arranger trois variables \(x\), \(y\) et \(z\) prenant chacune des valeurs booléennes (\(0\) ou \(1\)) données en entrée :

\(000\), \(001\), \(010\), \(011\), \(100\), \(101\), \(110\) ou bien \(111\) Chaque valeur \(f(x,y,z)\) étant ou bien un \(0\), ou bien un \(1\).

\(x\)	\(y\)	\(z\)	\(f(x,y,z)\) (\(1\) bit)
\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(f(0,0,0)\)
\(0\)	\(0\)	\(1\)	\(f(0,0,1)\)
\(0\)	\(1\)	\(0\)	\(f(0,1,0)\)
\(0\)	\(1\)	\(1\)	\(f(0,1,1)\)
\(1\)	\(0\)	\(0\)	\(f(1,0,0)\)
\(1\)	\(0\)	\(1\)	\(f(1,0,1)\)
\(1\)	\(1\)	\(0\)	\(f(1,1,0)\)
\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(f(1,1,1)\)

Ex

1. Un videur de boîte de nuit a reçu comme consigne de ne laisser passer que les personnes suivant le dress code suivant :

   • une chemise (\(x\))
   • ET (un pantalon \(y\) OU une jupe \(z\))

   Établir la Table de Vérité correspondant à cette situation :

   \(x\) (Chemise)	\(y\) (Pantalon)	\(z\) (Jupe)	\(f(x,y,z)\) (\(1\) bit) (Puis-je entrer ?)
   \(0\)	\(0\)	\(0\)
   \(0\)	\(0\)	\(1\)
   \(0\)	\(1\)	\(0\)
   \(0\)	\(1\)	\(1\)
   \(1\)	\(0\)	\(0\)
   \(1\)	\(0\)	\(1\)
   \(1\)	\(1\)	\(0\)
   \(1\)	\(1\)	\(1\)

   -

   \(x\) (Chemise)	\(y\) (Pantalon)	\(z\) (Jupe)	\(f(x,y,z)\) (\(1\) bit) (Puis-je entrer ?)
   \(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)
   \(0\)	\(0\)	\(1\)	\(0\)
   \(0\)	\(1\)	\(0\)	\(0\)
   \(0\)	\(1\)	\(1\)	\(0\)
   \(1\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)
   \(1\)	\(0\)	\(1\)	\(1\)
   \(1\)	\(1\)	\(0\)	\(1\)
   \(1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)

2. Le dress code a changé :

   • Pantalon Obligatoire pour tout le monde
   • une chemise (\(x\)) ET des Chaussures (\(z\)) (avec éventuellement un maillot en dessous)
   • OU (pas de chemise, mais avec maillot (\(y\)) ET Sans Chaussures)

   Établir la Table de Vérité correspondant à cette situation :

   \(x\) (Chemise)	\(y\) (Maillot)	\(z\) (Chaussures)	\(f(x,y,z)\) (\(1\) bit) (Puis-je entrer ?)
   \(0\)	\(0\)	\(0\)
   \(0\)	\(0\)	\(1\)
   \(0\)	\(1\)	\(0\)
   \(0\)	\(1\)	\(1\)
   \(1\)	\(0\)	\(0\)
   \(1\)	\(0\)	\(1\)
   \(1\)	\(1\)	\(0\)
   \(1\)	\(1\)	\(1\)

   -

   \(x\) (Chemise)	\(y\) (Maillot)	\(z\) (Chaussures)	\(f(x,y,z)\) (\(1\) bit) (Puis-je entrer ?)
   \(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)
   \(0\)	\(0\)	\(1\)	\(0\)
   \(0\)	\(1\)	\(0\)	\(1\)
   \(0\)	\(1\)	\(1\)	\(0\)
   \(1\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)
   \(1\)	\(0\)	\(1\)	\(1\)
   \(1\)	\(1\)	\(0\)	\(0\)
   \(1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)

Fonction Booléenne à \(n\) entrées

Nombres de Lignes d'une Table de Vérité

Une Table de Vérité d'une fonction booléenne avec \(n\) bits en entrée (le nombre total de colonnes, sauf la dernière colonne du résultat), aura besoin de \(2^n\) lignes (correspondant aux \(2^n\) combinaisons possibles avec les \(n\) bits en entrée).