Écriture d'un Nombre Réel en Base b⚓︎
Contenus | Capacités Attendues |
Commentaires |
---|---|---|
Écriture d’un entier positif dans une base \(b \ge 2\) |
Passer de la représentation d’une base dans une autre. |
Les bases \(2\), \(10\) et \(16\) sont privilégiées. |
Chiffres en Base \(b\)⚓︎
On généralise le Système de Numération Décimale positionnelle, en un
Il faut déjà commencer par choisir des notations pour un ensemble de \(b\) chifres :
- Si \(b\le 10\), alors (usuellement) les chiffres sont un sous-ensemble de \(\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\)
- Si \(b\gt 10\), alors (usuellement) les chiffres sont un sur-ensemble de \(\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\), càd que ces simples chiffres ne suffisent plus, il en faut de nouveaux :
- Si \(10\lt b \le 36\), alors (usuellement) on choisit les chiffres dans l'ensemble \(\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,..,X,Y,Z\}\)
- Si \(b>36\), alors (usuellement) :
- Chaque chiffre peut être écrit en décimal
- un nombre pouvant être noté \([20;37;15]_b = 20\times b^2 +37\times b^1+15\times b^0\)
Nombre \(x\) en base \(b\)
\(x_b = (x)_b = \overline{x}_b\) désignent le nombre \(x\) écrit en base \(b\)
Écriture de Nombres en Base \(b\)⚓︎
Écriture des nombres en Base \(b\)
Pour tout entier \(b\gt 2\),
- Tout nombre \(x\) peut être écrit dans le (Système de Numération Positionnel) en base \(b\)
- Cette écriture est de plus unique à écriture périodique illimitée du dernier chiffre de la base près
- Écriture d'un nombre entier en base \(b\) \(\begin{align} x &= \overline{c_pc_{p-1}..c_1c_0}_b \\ &= (c_pc_{p-1}..c_1c_0)_b \\ &= [c_p;c_{p-1};..;c_1;c_0]_b \\ &= c_p\times b^{p} + c_{p-1}\times b^{p-1} + \cdots + c_1\times b^{1} + c_0\times b^{0} \end{align} \)
- Cette écriture s'étend à des nombres fractionnaires, avec des exposants négatifs : \(\begin{align} x &= \overline{c_pc_{p-1}..c_1c_0,f_1f_2..f_{q}}_b \\ &= (c_pc_{p-1}..c_1c_0,f_1f_2..f_{q})_b \\ &= [c_p;c_{p-1};..;c_1;c_0,f_1;f_2;..;f_q]_b \\ &= c_p\times b^{p} + c_{p-1}\times b^{p-1} + \cdots + c_1\times b^{1} + c_0\times b^{0} \\ &+ f_1\times b^{-1} + f_2\times b^{-2} + \cdots + f_q\times b^{-q} \end{align} \)
zéro en base \(b\)
Le chiffre
Conversion de bases⚓︎
Conversion de base \(a\) \(\Leftrightarrow\) base \(b\)
Pour convertir un nombre \(x_a\) d'une base \(a\) vers une base \(b\) (et/ou réciproquement), il suffit (par exemple) de passer par le décimal (base \(10\)):
Conversion Base \(8\) \(\rightarrow\) Base \(2\)
Soit \(x = 1261_8\) un nombre en base \(8\).
Comment écrire \(x\) en base \(2\) ?
Corr
-
Conversion de \(x\) en Base \(10\)
\(\begin{align} x &= (1\times 8^3+2\times 8^2+6\times 8^1+1\times 8^0)_{10} \\ &= (512 + 128 + 48 + 1)_{10} \\ &= 689_{10} \end{align}\)
-
Conversion Base \(10\) \(\rightarrow\) Base \(2\):
On réalise une succession de divisions euclidiennes par \(2\), on conservant à chaque fois les restes :\(689\)
\(344\) \(\rightarrow\) reste \(1\)
\(172\) \(\rightarrow\) reste \(0\)
\(86\) \(\rightarrow\) reste \(0\)
\(43\) \(\rightarrow\) reste \(0\)
\(21\) \(\rightarrow\) reste \(1\)
\(10\) \(\rightarrow\) reste \(1\)
\(5\) \(\rightarrow\) reste \(0\)
\(2\) \(\rightarrow\) reste \(1\)
\(1\) \(\rightarrow\) reste \(0\)
\(0\) \(\rightarrow\) reste \(1\)
Conclusion : \(689_{10} = 1010110001_2\) -
Conclusion :
\(1261_8 = 1010110001_2\)
Conversion Directe Base \(a\) \(\Rightarrow\) Base \(b\)
On peut aussi convertir directement un nombre \(x\) en base \(a\) (\(x_a\)), vers une base \(b\), en :
- réalisant une succession de divisions de \(x_a\) par \(b\), jusqu'à ce que le quotient soit égal à \(0\)
- en conservant les restes \(r\) pour chaque division (\(0\le r \lt b\))
- Le nombre \(x_b\) (\(x\) en base \(b\)) est alors obtenu en lisant les restes à l'envers (du dernier vers le premier)